home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Amiga Tools 2 / Amiga Tools 2.iso / tex / macros / source / contrib / siam / lexample.tex / node5_mn.html < prev    next >
Text File  |  1995-03-09  |  5KB  |  104 lines
  1.  
  2. <H1><A ID="SECTION00020000000000000000">
  3. Main results</A>
  4. </H1> 
  5.  
  6. <P>
  7. Let (<I>S</I>, <I>C</I>) be a matrix pair of order <I>n</I>.  The determinant
  8. <P><tex2html_verbatim_mark>#math42#</P><DIV ALIGN="CENTER">
  9. det(<I>S</I><TT>o</TT><I>X</I> + <I>C</I>)
  10. </DIV><P></P> 
  11. is a polynomial in the indeterminates of <I>X</I> of degree at
  12. most <I>n</I> over the real field. We call this polynomial the
  13. <#175#><EM>indicator polynomial</EM><#175#> of the matrix pair (<I>S</I>, <I>C</I>)
  14. because of the following proposition.
  15.  
  16. <P>
  17. <BR>
  18. <A ID="th:prop"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#theorem176#
  19. <BR> 
  20.  
  21. <P>
  22. <BR>
  23. <A ID="eq:mono"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#proof180#
  24. <BR> 
  25.  
  26. <P>
  27. For SNS-matrix pairs (<I>S</I>, <I>C</I>) with <I>C</I> = <I>O</I> the indicator
  28. polynomial is a homogeneous polynomial of degree <I>n</I>. In
  29. this case Theorem <A HREF=<tex2html_cr_mark>#th:prop#195><tex2html_cr_mark></A> is a standard fact about
  30. SNS-matrices.
  31.  
  32. <P>
  33. <BR>
  34. <A ID="Gron"><tex2html_anchor_mark></A><A ID="stability"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#lemma196#
  35. <BR>
  36.  
  37. <P>
  38. <BR>
  39. <A ID="eq:gibson"><tex2html_anchor_mark></A><A ID="th:gibson"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#theorem210#
  40. <BR> 
  41.  
  42. <P>
  43. We note for later use that each submatrix of <I>T</I><SUB>n</SUB> of
  44. order <I>n</I> - 1 has all 1s on its main diagonal. 
  45.  
  46. <P>
  47. We now obtain a bound on the number of nonzero entries of
  48. <I>S</I> in a SNS-matrix pair (<I>S</I>, <I>C</I>) in terms of the degree of
  49. the indicator polynomial. We denote the strictly upper
  50. triangular (0,1)-matrix of order <I>m</I> with all 1s above the
  51. main diagonal by <I>U</I><SUB>m</SUB>. The all 1s matrix of size <I>m</I> by
  52. <I>p</I> is denoted by <I>J</I><SUB>m, p</SUB>.
  53.  
  54. <P>
  55. <BR>
  56. <A ID="pro:2.1"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#proposition227#
  57. <BR>
  58.  
  59. <P>
  60. <BR>
  61. <A ID="lem:3.1"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#lemma239#
  62. <BR>
  63.  
  64. <P>
  65. <#251#><EM>Proof</EM><#251#>. Applying integration by parts, we obtain
  66. <BR>
  67. <DIV ALIGN="CENTER">
  68. <tex2html_verbatim_mark>#math43#
  69. <TABLE CELLPADDING="0" ALIGN="CENTER" WIDTH="100%">
  70. <TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"><tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1350#<I>e</I><SUP>-2s<SUB>0</SUB>t</SUP>[<I>v</I><SUP>2</SUP>(<I>t</I>) - <I>v</I><SUP>2</SUP>(0)]<I>dt</I></TD>
  71. <TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP>=</TD>
  72. <TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1353#<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1354# - <tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1355#<I>e</I><SUP>-2s<SUB>0</SUB>t</SUP><I>v</I><SUP>2</SUP>(<I>t</I>)<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1356# + <tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1357#<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1358#<I>e</I><SUP>-2s<SUB>0</SUB>t</SUP><I>v</I><SUP>(1)</SUP>(<I>t</I>)<I>v</I>(<I>t</I>)<I>dt</I></TD>
  73. <TD WIDTH=10 ALIGN="RIGHT">
  74.  </TD></TR>
  75. <TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="RIGHT"> </TD>
  76. <TD WIDTH="10" ALIGN="CENTER" NOWRAP>≤</TD>
  77. <TD ALIGN="LEFT" NOWRAP><tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1361#<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1362#<I>e</I><SUP>-2s<SUB>0</SUB>t</SUP><I>v</I><SUP>(1)</SUP>(<I>t</I>)<I>v</I>(<I>t</I>)<I>dt</I>    ≤    0.</TD>
  78. <TD WIDTH=10 ALIGN="RIGHT">
  79.  </TD></TR>
  80. </TABLE></DIV>
  81. <BR CLEAR="ALL">
  82.  
  83. Thus
  84. <P><tex2html_verbatim_mark>#math44#</P><DIV ALIGN="CENTER">
  85. <tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1364#<I>e</I><SUP>-2s<SUB>0</SUB>t</SUP><I>v</I><SUP>2</SUP>(<I>t</I>)<I>dt</I>    ≤<I>v</I><SUP>2</SUP>(0)<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1365#    <I>e</I><SUP>-2s<SUB>0</SUB>t</SUP><I>dt</I>     =    <tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1366#<I>v</I><SUP>2</SUP>(0).<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1367#<tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay1368#
  86. </DIV><P></P>
  87.  
  88. <P>
  89. <BR>
  90. <A ID="c4.1"><tex2html_anchor_mark></A><tex2html_image_mark>#corollary276#
  91. <BR>
  92.  
  93. <P>
  94. <P><DIV><#1370#><B>Definition  </B><#1370#>   
  95. <#1372#><I><#465#></I>Let <I>S</I> be an isolated invariant set with isolating neighborhood <I>N</I>.
  96. An <#283#><EM>index pair</EM><#283#> for <I>S</I> is a pair of compact sets <tex2html_verbatim_mark>#math45#(<I>N</I><SUB>1</SUB>, <I>N</I><SUB>0</SUB>)
  97. with <tex2html_verbatim_mark>#math46#<I>N</I><SUB>0</SUB>⊂<I>N</I><SUB>1</SUB>⊂<I>N</I> such that:
  98. <BR>
  99. <tex2html_image_mark>#romannum288#
  100. <BR><I><#465#></I><#1372#></DIV><P></P>
  101.  
  102.  
  103. <P>
  104.